2022年全国硕士研究生招生考试数学二

考试时间 180 分钟

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

1.

若当x→0x\to0时,α(x),β(x),\alpha(x),\beta(x)是非零无穷小量，则以下的命题中，
①①若α(x) ∼β(x)\alpha(x)~\sim\beta(x),则α2(x) ∼β2(x) ;\alpha^{2}(x)~\sim\beta^{2}(x)~;

②②若α2(x)∼β2(x),则\alpha ^{2}( x) \sim \beta ^{2}( x) , 则 α(x)∼\alpha ( x) \sim β(x);\beta ( x) ;

③③若α(x)∼β(x)\alpha(x)\sim\beta(x),则α(x)−β(x)=o(α(x));\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x));

④④若α(x)−β(x)=o(α(x))\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x)),则α(x)∼β(x)\alpha(x)\sim\beta(x), 真命题的序号为（    ）

A.
 

①③

B.
 

①④

C.
 

①③④

D.
 

②③④


2.

∫02dy∫y2y1+x3dx=()\int_{0}^{2}\mathrm{d}y\int_{y}^{2}\frac{y}{\sqrt{1+x^{3}}}\mathrm{d}x=(\quad)

A.
 

26\frac{\sqrt{2}}{6}

B.
 

13\frac{1}{3}

C.
 

23\frac{\sqrt{2}}{3}

D.
 

23\frac{2}{3}


3.
设f(x)f(x)在x=x0x=x_0处有二阶导数，则( )
A.
 
当f(x)f(x) 在 x0x_0 的某邻域内单调增加时,f′(x0)>0f^\prime(x_{0})>0.
B.
 
当f′(x0)>0f^\prime(x_{0})>0 时,f(x),f(x) 在 x0x_{0} 的某邻域内单调增加.
C.
 
当f(x)f(x)在x0x_0的某邻域内是凹函数时，f′′(x0)>0f^\prime\prime(x_{0})>0.
D.
 
当f′′(x0)>0f^\prime\prime(x_{0})>0时,f(x),f(x)在x0x_0的某邻域内是凹函数.

4.
已知f(t)f(t) 连续，令F(x,y）="（x-y-t）f(t)dt,则（）
A.
 

 ∂F∂x = ∂F∂y, ∂2F∂x2 = ∂2F∂y2.\:\frac{\partial F}{\partial x}\:=\:\frac{\partial F}{\partial y},\:\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}\:=\:\frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}.

B.
 

  ∂F∂x = ∂F∂y, ∂2F∂x2 = − ∂2F∂y2.\mathrm\:\:\frac{\partial F}{\partial x}\:=\:\frac{\partial F}{\partial y},\:\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}\:=\:-\:\frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}.

C.
 

 ∂F∂x =− ∂F∂y , ∂2F∂x2 = ∂2F∂y2.\:\frac{\partial F}{\partial x}\:=-\:\frac{\partial F}{\partial y}\:,\:\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}\:=\:\frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}.

D.
 

 ∂F∂x =− ∂F∂y , ∂2F∂x2 =− ∂2F∂y2.\:\frac{\partial F}{\partial x}\:=-\:\frac{\partial F}{\partial y}\:,\:\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}\:=-\:\frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}.


5.

设pp 为常数，若反常积分∫01ln⁡xxp(1−x)1−p\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{x^{p}\left(1-x\right)^{1-p}}dxx 收敛,则pp 的取值范围是（）

A.
 

(-1，1).

B.
 

(-1，2).

C.
 

(-∞，1).

D.
 

(-∞，2).


6.
设数列{xn}\{x_{n}\} 满足−π2⩽xn⩽π2-\frac{\pi}{2}\leqslant x_{n}\leqslant\frac{\pi}{2}, 则（　　）
A.
 
若lim⁡n→∞cos⁡(sin⁡xn)\lim_{n\to\infty}\cos(\sin x_{n})存在, 则lim⁡n→∞xn\lim_{n\to\infty}x_{n}存在.
B.
 
若lim⁡n→∞sin⁡(cos⁡xn)\lim_{n\to\infty}\sin(\cos x_{n})存在, 则lim⁡n→∞xn\lim_{n\to\infty}x_{n}存在.
C.
 
若lim⁡n→∞cos⁡(sin⁡xn)\lim_{n\to\infty}\cos(\sin x_{n})存在, 则lim⁡n→∞sin⁡xn\lim_{n\to\infty}\sin x_{n}存在, 但lim⁡n→∞xn\lim_{n\to\infty}x_{n}不一定存在.
D.
 
若lim⁡n→∞sin⁡(cos⁡xn)\lim_{n\to\infty}\sin(\cos x_{n})存在, 则lim⁡n→∞cos⁡xn\lim_{n\to\infty}\cos x_{n}存在, 但lim⁡n→∞xn\lim_{n\to\infty}x_{n}不一定存在.

7.
若 I1=∫01x2(1+cos⁡x)dxI_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{2(1 + \cos x)} \mathrm{d}x, I2=∫01ln⁡(1+x)1+cos⁡xdxI_{2} = \int_{0}^{1} \frac{\ln(1 + x)}{1 + \cos x} \mathrm{d}x, I3=∫012x1+sin⁡xdxI_{3} = \int_{0}^{1} \frac{2x}{1 + \sin x} \mathrm{d}x, 则 ( )
A.
 
I1<I2<I3I_{1} < I_{2} < I_{3}.
B.
 
I2<I1<I3I_{2} < I_{1} < I_{3}.
C.
 
I1<I3<I2I_{1} < I_{3} < I_{2}.
D.
 
I3<I2<I1I_{3} < I_{2} < I_{1}.

8.

设AA 为3阶矩阵,A, \boldsymbol{A} =(1000−10000).= \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& - 1& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix} . 则AA 的特征值为1,-1.0的充分必要条件是（）

A.
 

存在可逆矩阵P,QP,Q ，使得AA = PΛQP \Lambda Q 

B.
 

存在可逆矩阵PP ，使得AA = PΛP−1P \Lambda P^{- 1}

C.
 

存在正交矩阵ϱ\varrho ，使得AA = QΛQ−1Q \Lambda Q^{- 1}

D.
 

存在可逆矩阵PP .使得AA = PΛPTP \Lambda P^{\mathrm{T} }


9.
知A\boldsymbol{A} = (1111aa21bb2),b\begin{pmatrix} 1& 1& 1\\ 1& a& a^2\\ 1& b& b^2\end{pmatrix} , \boldsymbol{b} = (124).\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 4\end{pmatrix} . 则线性方程组Ax=bAx=b 的胖的情改为( )
A.
 
无解
B.
 
有解
C.
 
有无穷多解或无解
D.
 
有唯一解或无解

10.
设α1=(λ,1,1)T,α2=(1,λ,1)T,α3=(1,1,λ)T,α4=(1,λ,λ2)T\boldsymbol{\alpha}_1=(\lambda,1,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_2=(1,\lambda,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,\lambda)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_4=(1,\lambda,\lambda^2)^{\mathrm{T}},若α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3与α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,，α4\boldsymbol{\alpha}_4等价 ,则λ\lambda的取值范围是( )
A.
 
{ 0 , 1 }.
B.
 
{λ∣λ∈R,λ≠−2}.\left\{\boldsymbol{\lambda}\mid\boldsymbol{\lambda}\in\mathbf{R},\boldsymbol{\lambda}\neq-2\right\}.
C.
 
{λ∣λ∈R,λ≠−1,λ≠−2}.\{\lambda\mid\lambda\in\mathbf{R},\lambda\neq-1,\lambda\neq-2\}.
D.
 
{λ∣λ∈R,λ≠−1}.\left\{\boldsymbol{\lambda}\mid\boldsymbol{\lambda}\in\mathbf{R},\boldsymbol{\lambda}\neq-1\right\}.

二、填空题（本题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上）

11.

lim⁡x→0(12+ex2)cot⁡x=\lim_{x\to0}\left(\frac{1^2+\mathrm{e}^x}{2}\right)^{\cot x}=________.


12.

已知函数 y=y(x) 由方程 x2+xy+y3=3 确定,则 y′′(1)\text{已知函数 }y=y(x)\text{ 由方程 }x^2+xy+y^3=3\text{ 确定,则 }y^{\prime\prime}(1) = ______.


13.

∫012x+3x2−x2+1dx\int_0^1\frac{2x+3}{x^2-x^2+1}\mathrm{d}x = ______.


14.

微分方程 y′′′−2y′′+5y′=0 的通解为 y(x)\text{微分方程 }y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}+5y^{\prime}=0\text{ 的通解为 }y(x) = ______.


15.

已知曲线 LL 的极坐标方程为 r=sin⁡3θ(0⩽θ⩽π3)r = \sin 3\theta (0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{3})，则 LL 围成的有界区域的面积为 ______.


16.

设A为3阶矩阵, 交换A的第2行和第3行, 再将第2列的-1倍加到第1列, 得到矩阵(−21−11−10−100)\left.\left(\begin{array}{ccc}{-2}&{1}&{-1}\\{1}&{-1}&{0}\\{-1}&{0}&{0}\end{array}\right.\right), 则A−1A^{-1}的迹tr(A−1)tr(A^{-1}) = ______.


三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

已知函数f(x)f(x)在x=1x=1处可导且lim⁡x→0f(ex2)−3f(1+sin⁡2x)x2=2\lim_{x \to 0}\frac{f(e^{x^2})-3f(1+\sin^2x)}{x^2}=2，求f′(1)f'(1).


18.

设函数 y(x)y(x) 是微分方程 2xy′−4y=2ln⁡x−12xy' - 4y = 2\ln x - 1 的满足条件 y(1)=14y(1) = \frac{1}{4} 的解，求曲线 y=y(x)y = y(x) (1⩽x⩽e)(1 \leqslant x \leqslant e) 的弧长.


19.

已知可微函数 f(u,v)f(u,v) 满足 ∂f(u,v)∂u−∂f(u,v)∂v=2(u−v)e−(u+v)\frac{\partial f(u,v)}{\partial u} - \frac{\partial f(u,v)}{\partial v} = 2(u-v)e^{-(u+v)}，且 f(u,0)=u2e−uf(u,0)=u^2e^{-u}.

(1).

记 g(x,y)=f(x,y−x)g(x,y) = f(x,y-x)，求 ∂g(x,y)∂x\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}；

(2).

 求f(u,v)f(u,v)的表达式与极值。


20.

设函数f(x)f(x) 在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上有二阶连续导数，证明：f′′(x)⩾0f^\prime\prime(x)\geqslant0 的充分必要条件是对任意不同的实数a,ba,b ,都有f(a+b2)≤1b−a∫abf(x)f\left(\frac{a+b}2\right)\leq\frac1{b-a}\int_a^bf(x)dxx成立.


21.

已知二次型f(x1,x2,x3)=3x12+4x22+3x32+2x1x3.f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+4x_2^2+3x_3^2+2x_1x_3.

(1).

求正交矩阵 QQ,使正交变换 x=Qyx=Qy 将二次型f(x1,x2,x3)f(x_1,x_2,x_3) 化为标准形

(2).

证明min⁡x≠0f(x)xTx=2.证明\min_{x\neq0}\frac{f(x)}{x^{\mathrm{T}}x}=2.