2024年全国硕士研究生招生考试数学二

考试时间 180 分钟

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

函数 $f\left(x\right)=\left|x\right|^{\frac1{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是()

(2)设函数

y=f\left(x\right)

由参数方程

\begin{cases}x=1+t^3\\y=e^{t^2}\end{cases}

确定，则

\lim_{x\to+\infty}x\bigg[f(2+\frac{2}{x})-f(2)\bigg]=()

2e

\frac {4e}3

\frac {2e}3

\frac {e}3

设函数

f(x) = \int_{0}^{\sin x} \sin t^3 dt

，

g(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt

，则（）

f(x)

是奇函数，

g(x)

是奇函数

f(x)

是奇函数，

g(x)

是偶函数

f(x)

是偶函数，

g(x)

是偶函数

f(x)

是偶函数，

g(x)

是奇函数

已知数列

\left\{a_n\right\}(a_n\neq0)

,若

\left\{a_n\right\}

发散，则()

\{ a_n+ \frac 1{a_n}\}

发散

\{ a_n- \frac 1{a_n}\}

发散

\{ e^{a_n}+ \frac 1{e^{a_n}}\}

发散

\{e^a_n-\frac1{e^{a_n}}\}

发散

己知函数

f(x,y)=\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{xy},xy\neq0\\0,xy=0\end{cases}

,则在点(0,0)处

\frac {\partial f( x, y) }{\partial x}

连续

,f(x,y)

可微

\frac {\partial f( x, y) }{\partial x}

连续，

f( x, y)

不可微

\frac {\partial f( x, y) }{\partial x}

不连续，

f(x,y)

可微

\frac {\partial f( x, y) }{\partial x}

不连续，

f(x,y)

不可微

设 $f(x,y)$ 是连续函数，则 $\int_\frac\pi6^{\frac\pi2}dx\int_{\sin x}^{1}f(x,y)dy=()$

\int_\frac12^1dy\int_{\frac\pi6}^{\arcsin y}f(x,y)dx

\int _{\frac 12}^1dy\int _{\arcsin y}^{\frac \pi 2}f( x, y) dx

\int _0^{\frac 12}dy\int _{\frac \pi 6}^{\arcsin y}f( x, y) dx

\int _0^{\frac 12}dy\int _{\arcsin y}^{\frac \pi 2}f( x, y) dx

设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，给出以下三个命题： ①若 $\int_0^{+\infty}f^2(x)$ 收敛，则 $\int_0^{+\infty}f(x)$ 收敛. ②若存在 $p \gt 1$ , 使得 $\lim_x\to+\infty x^pf(x)$ 存在，则 $\int_0^{+\infty}f(x)$ 收敛. ③若 $\int_0^{+\infty}f(x)$ 收敛，则存在 $p\gt1$ , 使得 $\lim_x\to+\infty x^{p}f(x)$ 存在. ### 其中真命题个数为( )

0

1

2

$3$

设

A

为 3 阶矩阵 ,

P= \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{pmatrix}

, 若

P^TAP^2=\begin{pmatrix}a+2c&0&c\\0&b&0\\2c&0&c\end{pmatrix},

则A =(\:)

\begin{pmatrix}c&0&0\\0&a&0\\0&0&b\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} b& 0& 0\\ 0& c& 0\\ 0& 0& a\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& c\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}c&0&0\\0&b&0\\0&0&a\end{pmatrix}

设

A

为4阶矩阵，

A^*

为

A

的伴随矩阵，若

A(A-A^*)=0

,且

A\neq A^*

,则

r(A)

取值为( )

0或1

1或 3

2或3

1或2

10.

设

A,B

为2阶矩阵，且

AB=BA

,则"

A

有两个不相等的特征值”是“

B

可对角化”的( )

充分必要条件

充分不必要条件

必要不充分条件条件

既不充分也不必要

二、填空题（本题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上）

11.

曲线 $y^{2}=x$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆方程为_____.

12.

函数 $f\left(x,y\right)=2x^{3}-9x^{2}-6y^{4}+12x+24y$ 的极值点是______.

13.

微分方程 $y^\prime=\frac1{\left(x+y\right)^2}$ 满足条件 $y(1)=0$ 的解为$______.

14.

$\text{已知函数}f(x)=(e^x+1)x^2,\text{则}f^{(5)}(1)=$ ______.

15.

某物体以速度 $\nu(t)=t+k\sin\pi t$ 做直线运动，若它是从 $t=0$ 到 $t=3$ 的时间段内平均速度为 $\frac52$ ,则 $k=$ ______.

16.

设向量 $\alpha _1= \begin{pmatrix} a\\ 1\\ - 1\\ 1\end{pmatrix}$ , $\alpha _2= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ b\\ a\end{pmatrix}$ , $\alpha _3= \begin{pmatrix} 1\\ a\\ - 1\\ 1\end{pmatrix}$ , 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则 $ab=$ ______.

三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

设平面有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $xy=\frac13,xy=3$ 与直线 $y=\frac{1}{3}x,y=3x$ 围成,计算 $\iint\limits_{D}\left(1+x-y\right)dxdy\:.$

18.

设 $y(x)$ 为微分方程 $x^2 y'' + xy' - 9y = 0$ 满足条件 $y|_{x=1} = 2$ , $y'|_{x=1} = 6$ 的解.

(1).

利用变换 $x=e^t$ 将上述方程化为常系数线性方程，并求 $y(x);$

(2).

$\text{计算}\int_1^2y(x)\sqrt{4-x^2}dx.$

19.

设 $t \gt0$ ,平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt xe^-x$ 与直线 $x=t,x=2t$ 及 $x$ 轴围成， $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V(t)$ ,求 $V(t)$ 的最大值.

20.

已知函数 $f(u,v)$ 具有2阶连续偏导数,且函数 $g(x,y)=f(2x+y,3x-y)$ 满足 $\frac{\partial^{2}g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}g}{\partial x\partial y}-6\frac{\partial^{2}g}{\partial y^{2}}=1$

(1).

$\text{求}\frac{\partial^2f}{\partial u\partial\nu};$

(2).

$\begin{aligned}&\text{若}\frac{\partial f(u,0)}{\partial u}=ue^{-u},f(0,v)=\frac{1}{50}v^{2}-1,\text{求}f\left(u,v\right)\text{的表达}\\\text{式}.\end{aligned}$

21.

设函数 $f(x)$ 具有 2阶导数，且 $f^\prime ( 0) = f^{\prime }( 1)$ , $\left | f^{\prime \prime }( x) \right | \leq 1$ ,

证明：

(1).

$\text{当}x\in\begin{pmatrix}0,1\end{pmatrix}\text{时,}\begin{vmatrix}f\begin{pmatrix}x\end{pmatrix}-f\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-x\end{pmatrix}-f\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}x\end{vmatrix}\leq\frac{x\begin{pmatrix}1-x\end{pmatrix}}{2};$

(2).

$\left|\int_0^1f\left(x\right)dx-\frac{f\left(0\right)+f\left(1\right)}{2}\right|\leq\frac{1}{12}.$

22.

设矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&1&a\\1&0&1\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\b&2\end{pmatrix}$ ，二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x^{T}BAx$ .已知方程组 $Ax=0$ 的解均是 $B^{T}x=0$ 的解，但这两个方程组不同解.

(1).

$\text{求}a,b\text{的值};$

(2).

$\text{求正交变换 }x=Qy\text{将 }f(x_1,x_2,x_3)\text{化为标准形}.$