2021年全国硕士研究生招生考试数学二

考试时间 180 分钟

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

1.
当 x→0x \rightarrow 0 时，∫0x2(et2−1)dt\int_{0}^{x^{2}}(e^{t^{2}}-1)dt 时 x2x^{2} 的
A.
 

低阶无穷小.

B.
 
等价无穷小.
C.
 
高阶无穷小.
D.
 
同阶但非等价无穷小.

2.
函数f(x)={ex−1x,x≠01,x=0f(x)=\begin{cases}\frac{e^{x}-1}{x},x\neq0\\1,x=0\end{cases},在x=0x=0处
A.
 
连续且取极大值.
B.
 
连续且取极小值.
C.
 
可导且导数为0.
D.
 
可导且导数不为 0.

3.
有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 2 cm/s2 \text{ cm/s}, −3 cm/s-3 \text{ cm/s}, 当底面半径为 10 cm,10 \text{ cm,} 高为 5 cm5 \text{ cm} 时, 圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为
A.
 
125π cm3/s125 \pi \text{ cm}^3 / \text{s}, 40π cm2/s40 \pi \text{ cm}^2 / \text{s}.
B.
 
125π cm3/s125 \pi \text{ cm}^3 / \text{s}, −40π cm2/s-40 \pi \text{ cm}^2 / \text{s}.
C.
 
−100π cm3/s-100 \pi \text{ cm}^3 / \text{s}, 40π cm2/s40 \pi \text{ cm}^2 / \text{s}.
D.
 
−100π cm3/s-100 \pi \text{ cm}^3 / \text{s}, −40π cm2/s-40 \pi \text{ cm}^2 / \text{s}.

4.
设函数f(x)=ax−bln⁡x(a>0)f(x)=ax-b\ln x(a>0)有两个零点, 则ba\frac{b}{a}的取值范围是
A.
 
(e,+∞)(e,+\infty).
B.
 
(0,e)(0,e).
C.
 
(0,1e)(0,\frac{1}{e}).
D.
 
(1e,+∞)(\frac{1}{e},+\infty).

5.
设函数 f(x)=sec⁡xf(x)=\sec x 在 x=0x=0 处的 2 次泰勒多项式为1+ax+bx2+ax+bx^2,则
A.
 
a=1,b=−12.a=1,b=-\frac12.
B.
 
a=1,b=12.a=1,b=\frac12.
C.
 
a=0,b=−12.a=0,b=-\frac12.
D.
 
a=0,b=12.a=0,b=\frac12.

6.
设函数f(x,y)f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2f(x+1,e^{x})=x(x+1)^{2}，f(x,x2)=2x2ln⁡xf(x,x^{2})=2x^{2}\ln x，则df(1,1)=df(1,1)=
A.
 
dx+dydx+dy．
B.
 
dx−dydx-dy．
C.
 
dydy．
D.
 
−dy-dy．

7.
设函数 f(x)f\left(x\right)在区间[0,1]上连续，则∫01f(x)dx=\int_0^1f\left(x\right)dx=
A.
 

lim⁡n→∞∑k=1nf(2k−12n)12n\lim_{n\to\infty}\sum _{k=1}^{n}f\left ( \frac {2k- 1}{2n}\right ) \frac 1{2n} .

B.
 

lim⁡n→∞∑k=1nf(2k−12n)1n.\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{2k-1}{2n}\right)\frac1n.

C.
 
lim⁡n→∞∑k=1n=1f(k−12n)1n.\operatorname*{lim}_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n=1}f\left(\frac{k-1}{2n}\right)\frac{1}{n}.
D.
 

lim⁡x→0∑k=12nf(k2n)⋅2n.\lim_{x\to_0}\sum_{k=1}^{2n}f\left(\frac{k}{2n}\right)\cdot\frac{2}{n}.


8.
二次型 f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2−(x3−x1)2f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2的正惯性指数与负惯性指数依次为
A.
 
2,0 .
B.
 

1,1.

C.
 
2,1.
D.
 
1,2.

9.
设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)，B=(β1,β2,β3)B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)，若向量组α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3可以由向量组β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3线性表出，则
A.
 
Ax=0Ax=0的解均为Bx=0Bx=0的解.
B.
 
ATx=0A^Tx=0的解均为BTx=0B^Tx=0的解.
C.
 
Bx=0Bx=0的解均为Ax=0Ax=0的解.
D.
 
BTx=0B^Tx=0的解均为ATx=0A^Tx=0的解.

10.
已知矩阵A=(10−12−11−12−5)A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&-1&1\\-1&2&-5\end{pmatrix}若下三角可逆矩阵PP 和上三角可逆矩阵QQ,使PAQPAQ为对角矩阵，则PP,ϱ\varrho可以分别取
A.
 
(100010001), (101013001).\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\:\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}.
B.
 
(1002−10−321), (100010001).\begin{pmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\-3&2&1\end{pmatrix},\:\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
C.
 
(1002−10−321), (101013001).\begin{pmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\-3&2&1\end{pmatrix},\:\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}.
D.
 
(100010131), (12−30−12001).\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&3&1\end{pmatrix},\:\begin{pmatrix}1&2&-3\\0&-1&2\\0&0&1\end{pmatrix}.

二、填空题（本题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上）

11.

∫−∞+∞∣x∣3−x2dx=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|3^{-x^{2}}dx=______.


12.

设函数y=y(x)设函数y=y(x) 由参数方程{x=2et+t+1y=4(t−1)et+t2\begin{cases}x=2e^t+t+1\\y=4(t-1)e^t+t^2\end{cases}确定，则d2ydx2∣t=0=\frac d2y{dx^2}|_{t=0}=______.


13.

设函数 z=z(x,y) 由方程 (x+1)z+yln⁡z−arctan⁡(2xy)=1 确定,则∂z∂x∣(0,2)=\text{设函数 }z=z(x,y)\text{ 由方程 }(x+1)z+y\ln z-\arctan(2xy)=1\text{ 确定,则}\frac{\partial z}{\partial x}|_{(0,2)}=______.


14.

已知函数 f(t)=∫1tdx∫x1sin⁡xydy,则 f′(π2)\text{已知函数 }f(t)=\int_{1}^{t}dx\int_{\sqrt{x}}^{1}\sin\frac{x}{y}dy,\text{则 }f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)______.


15.

微分方程 y′′′−y=0 的通解 y=\text{微分方程 }y^{\prime\prime\prime}-y=0\text{ 的通解 }y=______.


16.

多项式 f(x)=∣xx12x1x2−121x12−11x∣中 x3项的系数为\text{多项式 }f(x)=\begin{vmatrix}x&x&1&2x\\1&x&2&-1\\2&1&x&1\\2&-1&1&x\end{vmatrix}\text{中 }x^3\text{项的系数为}______.


三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

求极限lim⁡x→0(1+∫0xet2dtex−1−1sin⁡x).\text{求极限}\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\int_0^xe^{t^2}dt}{e^x-1}-\frac{1}{\sin x}\right).


18.

已知f(x)=x∣x∣1+x,求f(x)的凹凸性及渐近线.\text{已知}f(x)=\frac{x\left|x\right|}{1+x}\text{,求}f(x)\text{的凹凸性及渐近线}.


19.

f(x)f(x)满足∫f(x)xdx=16x2−x+C,L\int\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx=\frac16x^{2}-x+C,L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),Ly=f(x)(4\leq x\leq9),L的弧长为ss,LL绕xx轴旋转一周所形成的曲面的面积为AA,求ss 和AA


20.

函数 y=y(x) 的微分方程 xy′−6y=−6,满足 y(3)=10,\text{函数 }y=y(x)\text{ 的微分方程 }xy^{\prime}-6y=-6\text{,满足 }y(\sqrt{3})=10,

(1).

求 y(x);\text{求 }y(x);

(2).

 PP 为曲线 y=y(x)y=y(x) 上的一点, 曲线 y=y(x)y=y(x) 在点 PP 的法线在 yy 轴上的截距为 IyI_{y}, 为使 IyI_{y} 最小, 求 PP 的坐标.


21.

曲线(x2+y2)2=x2−y2(x≥0,y≥0)与x轴围成的区域为D,求∬Dxydxdy.\text{曲线}(x^2+y^2)^2=x^2-y^2(x\geq0,y\geq0)\text{与}x\text{轴围成的区域为}D\text{,求}\iint_Dxydxdy.


22.

设矩阵A=(2101201ab)A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\1&a&b\end{pmatrix}仅有两个不同的特征值。若AA相似于对角矩阵，求a,ba,b的值，并求可逆矩阵PP，使P−1APP^{-1}AP为对角矩阵。