2025年全国硕士研究生招生考试数学一

考试时间 180 分钟

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

已知函数 $f(x)=\int_{0}^{x}e^{t^{2}}\sin tdt$ ， $g(x)=\int_{0}^{x}e^{t^2}dt\cdot\sin^2x$ ，则

x=0

是

f(x)

的极值点，也是

g(x)

的极值点

x=0

是

f(x)

的极值点， (0,0) 是曲线

y=g(x)

的拐点

x=0

是

f(x)

的极值点，(0.0)是曲线

y=f(x)

的拐点

(0.0)是曲线

y=f(x)

的拐点，也是曲线

y=g(x)

的拐点

已知级数： $①\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n^3\pi}{n^2+1}$ : $②\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}-\tan\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}})$ 记 $\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}})$ ，则

$①$ 与 $②$ 均条件收敛敛

$①$ 条件收敛， $②$ 绝对收敛

$①$ 绝对收敛， $②$ 条件收敛

$①$ 与 $②$ 均绝对收敛

设数

f(x)

在区间

\begin{bmatrix}0,+\infty\\0\end{bmatrix}

上可导，则

当

\lim_{x\to+\infty}f(x)

存在时，

\lim_{x\to+\infty}f^{\prime}(x)

存在

当

\lim_{x\to+\infty}f^{\prime}(x)

存在时，

\lim_{x\to+\infty}f(x)

存在

当

\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^xf(t)dt}x

存在时，

\lim_{x\to+\infty}f(x)

存在

当

\lim_{x\to+\infty}f(x)

存在时

\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^xf(t)dt}{x}

存在

设函数

f(x,y)

连续，则

\int_{-2}^{2}dx\int_{4-x^{2}}^{4}f(x,y)dy=

\int_{0}^{4}[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}}f(x,y)dx+\int_{\sqrt{4-y}}^{2}f\left(x,y\right)dx]dy

\int_{0}^{4}[\int_{-2}^{\sqrt{4-y}}f\left(x,y\right)dx+\int_{\sqrt{4-y}}^{2}f\left(x,y\right)dx]dy

$\int_{0}^{4}[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}}f(x,y)dx+\int_{2}^{\sqrt{4-y}}f(x,y)dx]dy$

2\int_{0}^{4}dy[\int_{\sqrt{4-y}}^{2}f(x,y)dx

二次型

f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}

的正惯性指数为

设

\alpha_{1,}\alpha_{2,}\alpha_{3,}\alpha_{4}

是

n

维向量，

\alpha_1,\alpha_2

线性无关，

\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3

线性相关，且

\alpha_{1+}\alpha_{2}+\alpha_{4}=0

，在空间直角坐标系

O-xyz

中，关于

x,y,z

的方程组

x\alpha_{1}+y\alpha_{2}+z\alpha_{3}=\alpha_{4}

的几何图形是

过原点的一个平面

过原点的一条直线

不过原点的一个平面

不过原点的一条直线

设

n

阶矩阵

A,B,C

满足

r(A)+r(B)+r(B)=r(ABC)+2n

，给出下列四个结论： ①

r(ABC)+n=r(AB)+r(C)；

②

r(AB)+n=r(A)+r(B)；

③

r(A)=r(B)=r(C)=n

； ④

r( AB) = r( BC) = n

，其中正确的选项是

①②

①③

②④

③④

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(0,0;1,1;P)$ ，其中 $P\in(-1,1)$ ，若 $a,b$ 为满足 $a^2+b^2=1$ 的任意实数，则 $D(aX+bY)$ 的最大值为

$1+|P|$

$1+P^2$

设 $X_{1,X^{2},...,X^{20}}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本，令 $T=\sum_{i=1}^{20}X_i$ ，利月泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $P\{$ T $\leq1\}\approx$

\frac1{\mathrm{e}^2}

\frac2{\mathrm{e}^2}

\frac{3}{\mathrm{e}^2}

\frac{4}{\mathrm{e}^2}

10.

设

x_1, x_2, \cdots, x_n

为来自正态总体

N(\mu, 2)

的简单随机样本，记

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i

，

Z_\alpha

表示标准正态分布的上侧

\alpha

分位数，假设检验问题：

H_0: \mu \leq 1, H_1: \mu > 1

的显著性水平为

\alpha

的检验的拒绝域为

\left\{(x_1, x_2, \cdots, x_n) \mid \bar{X} > 1 + \frac{2}{n} Z_\alpha\right\}

\left\{(x_1, x_2, \cdots, x_n) \mid \bar{X} > 1 + \frac{\sqrt{2}}{n} Z_\alpha\right\}

\left\{(x_1, x_2, \cdots, x_n) \mid \bar{X} > 1 + \frac{2}{\sqrt{n}} Z_\alpha\right\}

\left\{(x_1, x_2, \cdots, x_n) \mid \bar{X} > 1 + \sqrt{\frac{2}{n}} Z_\alpha\right\}

二、填空题（本题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上）

11.

$\lim_{x\to0^+}\frac{x^x-1}{\ln x\cdot\ln(1-x)}=$ ______.

12.

已知函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}0\:,\:0\leq x\lt\frac{1}{2}\\[1ex]x^{2},\:\frac{1}{2}\leq x\leq1\end{cases}$ 的传里叶级数为 $\sum _{n= 1}^{\infty }b_{n}\sin n\pi x$ $, S( x)$ 为 $\sum_{n=1}^\infty b_n\sin n\pi x$ 的和函数,则 $S\left(-\frac{7}{2}\right)=$ ______.

13.

已知函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}0\:,\:0\leq x<\frac{1}{2}\\[1ex]x^{2},\:\frac{1}{2}\leq x\leq1\end{cases}$ 的传里叶级数为 $\sum _{n= 1}^{\infty }b_{n}\sin n\pi x$ $, S( x)$ 为 $\sum_{n=1}^\infty b_n\sin n\pi x$ 的和函数,则 $S\left(-\frac{7}{2}\right)=$ ______.

14.

已知函数 $U(x,y,z)=xy^{2}z^{3}$ ，向量 $n=\left(2,2,-1\right)$ ，则 $\left.\frac{\partial\nu}{\partial n}\right|_{(1,1,1)}=$ ______.

15.

已知有向曲线 $L$ 是沿抛物线 $y=1-x^2$ 从点(1,0) 到(-1,0)的段，则曲线积分 $\int_L(y+\cos x)dx+(2x+\cos y)dy=$ ______.

16.

$A=\begin{pmatrix}4&2&-3\\a&3&-4\\b&5&-7\end{pmatrix}$ ，若方程组 $A^2X=0$ 与 $AX=0$ 不同解，则 $a-b=$ ______.

17.

设 $A,B$ 为两个不同随机事件，且相互独立，已知P(A)=2P(B),P(AUB)=，则 $A,B$ 中至少有一个发生的条件下， $A,B$ 中恰好有一个发生的概率为______.

三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

计算 $\int_{0}^{1}\frac{1}{(x+1)(x^{2}-2x+2)}dx$

18.

已知函数 $f(u)$ 在区间 $\begin{pmatrix}0,+\infty\end{pmatrix}$ 内具有二阶导数，记g(x,y)=f=)，若 $g(x,y)$ 满足 $x^{2}$ $\frac {\partial ^{2}g}{\partial x^{2}}+ xy$ $\frac {\partial ^{2}g}{\partial x\partial y}+ y^{2}$ $\frac {\partial ^{2}g}{\partial y^{2}}= 1$ ，且 $g(x,x)=1$ · $\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x,x)}=\frac2x$ ，求 $f(u)$

19.

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内可导，证明：导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：对 $(a,b)$ 内任意的 $x_1,x_2,x_3$ ，当 $x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}$ 时， $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\lt \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$

20.

设 $\Sigma$ 是由直线 $\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}$ 绕直线 $\{y=t$ $\begin{cases}x=t\\y=t\\z=t\end{cases}$ $z=t$ $x=t$ ( $t$ 为参数）旋转一周得到的曲面， $\Sigma_{1}$ 是 $\Sigma$ 介于平面 $x+y+z=0$ 与 $x+y+z=1$ 之间部分的外侧，计算曲面积分 $\iint\limits_{\Sigma_1}xdydz+(y+1)dzdx+(z+2)dxdy$

21.

$A=\begin{pmatrix}0&-1&2\\-1&0&2\\-1&-1&a\end{pmatrix}$ ，已知1是 $A$ 的特征多项式的重根

(1).

求 $a$ 的值

(2).

求所有满足 $A\alpha=\alpha+\beta$ ， $A^2\alpha=\alpha+2\beta$ 的非零列向量 $\alpha$ ， $\beta$

22.

投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额Y与投保人的损失额 $X$ 的关系为 $Y=\begin{cases}0,X\leq100\\X-100,X>100\end{cases}$ ，设损失事件发生时，投保人的损失额 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\begin{cases}\frac{2\times100^2}{\left(100+x\right)^3},x>0\\0,x\leq0\end{cases}$

(1).

求 $P\{Y\gt0\}$ 及 $E(Y)$

(2).

这种损失事件在一年内发生的次数记为 $N$ ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $M$ ，假设 $N$ 服从参数为8的泊松分布，在 $N=n\left(n\geq1\right)$ 的条件下， $M$ 服从二项分布 $B(n,P)$ ，其中 $P=P\left\{Y \gt0\right)$ ，求 $M$ 的概率分布.