2025年全国硕士研究生招生考试数学三

考试时间 180 分钟

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

当x→0+时，下列无穷小量中，与x等价的是（　　）

e^{-\sin x}-1

\sqrt{x+1}-\cos x

1-\cos\sqrt{2x}

1-\dfrac{\ln(1+x)}{x}

已知函数 $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} \sin t \, dt$ ， $g(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} dt \cdot \sin^2 x$ ，则()

x=0

是

f(x)

的极值点，也是

g(x)

的极值点

x=0

是

f(x)

的极值点，

(0,0)

是曲线

y=g(x)

的拐点

x=0

是

f(x)

的极值点，

(0,0)

是曲线

y=f(x)

的拐点

(0,0)

是曲线

y=f(x)

的拐点，也是曲线

y=g(x)

的拐点

已知

k

为常数，则级数

\sum _n= 1^{\infty }( - 1) ^{n}[ \frac 1n- \ln ( 1+ \frac k{n^{2}}) ] (

)

绝对收敛

条件收敛

发散

敛散性与

k

的取值相关

设函数

f(x)

连续，则

\int_0^1 dy \int_0^y f(x) dx

( )

\int_0^1 xf(x) dx

\int_0^1 (1 + x) f(x) dx

\int_0^1 (x - 1) f(x) dx

\int_0^1 (1 - x) f(x) dx

已知

A

是

m\times n

的矩阵，

\beta

是

m

维非零向量。若

A

有

k

阶非零子式，则( )

当

k=m

时

Ax=\beta

有解

当

k=m

时

Ax=\beta

无解

当

k<m

时

Ax=\beta

有

当

k<m

时

Ax=\beta

无解

设

A

为3阶矩阵，则“

A^3-A^2

可对角化”是“

A

可对角化”的()

充分但不必要条件

必要但不充分条件

充分必要条件

既不充分也不必要条件

设矩阵 $A= \begin{pmatrix} 1& 2\\ - 2& - a\end{pmatrix}$ , $B= \begin{pmatrix} 1& 0\\ 1& a\end{pmatrix}$ , 若 $f\left(x,y\right)=|xA+yB|$ 是正定二次型，则 $a$ 的取值范围是()

$(0,2-\sqrt{3})$

$(2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})$

$(2+\sqrt{3},4)$

$(0,4)$

设随机变量

X

服从正态分布

N(-1,1)

，

Y

服从正态分布

N(1,2)

，若

X

与

X+2Y

不相关，则

X

与

X-Y

的相关系数为()

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

设

x_{1},x_{2}\cdots x_{20}

是来自总体

B(1,0.1)

的简单随机样本，令

T=\sum_{i=1}^{20}x

，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得

P\{T\leq1\}\approx()

\frac{1}{e^{2}}

\frac{2}{e^{2}}

\frac{3}{e^{2}}

\frac{4}{e^{2}}

10.

设总体

X

的均匀分布为

F(x)

X_{1}, X_{2}, \cdots X_{n}

, 为来自总体

X

的简单随机样本, 样本的经验分布函数为

F_{n}(x)

, 对于给定的

x(0<F(x)<1)

D\left(F_{n}(x)\right)=

（）

F(x)\left(1-F(x)\right)

\left(F(x)\right)^{2}

\frac{1}{n} F(x)\left(1-F(x)\right)

\frac{1}{n}\left(F(x)\right)^{2}

二、填空题（本题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上）

11.

设 $g(x)$ 是函数 $f(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{3+x}{3-x}$ 的反函数，则曲线 $y=g(x)$ 的渐近线方程为_______

12.

设 $\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x(2x+a)}dx=\ln2$ ，则 $a=$ ______.

13.

微分方程 $xy'-y+x^2e^x=0$ 满足条件 $y(1)=-e$ 的解为 $y=$ _______.

14.

已知函数 $z=z(x,y)$ 由 $z+\ln z-\int_{y}^{x}xe^{-t^2}dt=1$ 确定，则 $\left.\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\right|_{(1,1)}=$ ______

15.

已知 $f(x)=\begin{vmatrix}2x+1&3&2x+1&1\\2x&-3&4x&-2\\2x+1&2&2x+1&1\\2x&-4&4x&-2\end{vmatrix}$ , $g(x)=\begin{vmatrix}2x+1&1&2x+1&3\\5x+1&-2&4x&-3\\0&1&2x+1&2\\2x&-2&4x&-4\end{vmatrix}$ , 则方程 $f(x)=g(x)$ 的不同的根的个数为 ______

16.

设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为三个随机事件, 且 $A$ 与 $B$ 相互独立, $B$ 与 $C$ 相互独立, $A$ 与 $C$ 互不相容, 已知 $P(A)=P(C)=\frac{1}{4}$ , $P(B)=\frac{1}{2}$ , 则在事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 至少有一个发生的事件下, $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中恰有一个发生的概率为 ______

三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)(x^{2}-2x+2)} dx$ .

18.

设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim_{x \to 0} \frac{xf(x)-e^{2\sin x}+1}{\ln(1+x)+\ln(1-x)} = -3$ ，证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，并求 $f'(0)$ .

19.

已知平面有界区域 $D=\{(x,y) | y^{2} \leq x, x^{2} \leq y\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D} (x-y+1)^{2} dxdy$ .

20.

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内可导，证明导函数 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：对 $(a,b)$ 内任意的 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，当 $x_{1} \lt x_{2} \lt x_{3}$ 时， $\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \lt \frac{f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}$ .

21.

设矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&-1&3&0&-1\\-1&0&-2&-a&-1\\1&1&a&2&3\end{bmatrix}$ 的秩为 2.

(1).

求 $a$ 的值.

(2).

求 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关组 $\alpha , \beta$ ,并求矩阵 $H$ ,使得 $A=GH$ ,其中 $G=\begin{pmatrix}\alpha,\beta\end{pmatrix}.$

22.

投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额Y与投保人的损失额X的关系为:
$Y=\begin{cases}0,X\leq 100\\X-100,X>100\end{cases}$
设损失事件发生时，投保人的损失额X概率密度为:
$<br>f(x)=\begin{cases}\frac{2\times 100^2}{(100+x)^3},x>0\\0,x\leq 0\end{cases}$

(1).

求P{Y>0}及EY;

(2).

这种损失事件在一年内发生的次数记为N，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为M。假设N服从参数为δ的泊松分布，在N=n(n≥1)的条件下，M服从二项分布B(n,p)，其中p=P{Y>0}，求M的概率分布。