2024 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标I 卷) 数学-真题星球

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.

已知集合

A = \{x \mid -5 < x^3 < 5\}, B = \{-3, -1, 0, 2, 3\},

则

A \cap B = \quad \text{( )}

A.

\{-1,0\}

B.

\{2,3\}

C.

\{-3, -1, 0\}

D.

\{-1,0,2\}

2.

若

\frac{z}{z-1}=1+i

，则

z=

（）

A.

-1-i

B.

-1+i

C.

1-i

D.

1+i

3.

已知向量

\vec{a}=(0,1)

，

\vec{b}=(2,x)

，若

\vec{b}⊥(\vec{b}-4\vec{a})

，则

x=

（）

A.

-2

B.

-1

C.

1

D.

2

4.

已知

\cos(\alpha+\beta)=m

，

\tan\alpha\tan\beta=2

，则

\cos(\alpha-\beta)=

（）

A.

-3m

B.

-\frac{m}{3}

C.

\frac{m}{3}

D.

3m

5.

已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为

\sqrt{3}

，则圆锥的体积为（）

A.

2\sqrt{3}\pi

B.

3\sqrt{3}\pi

C.

6\sqrt{3}\pi

D.

9\sqrt{3}\pi

6.

已知函数为

f(x)=\begin{cases}-x^{2}-2ax-a,x<0\\e^{x}+\ln(x+1),x\geq0\end{cases}

, 在R上单调递增, 则a取值的范围是()

A.

(-∞,0]

B.

[-1,0]

C.

[-1,1]

D.

[0,+∞)

7.

当xÎ [0,2π]时, 曲线y=sinx 与 y=2sin(3x-π/6)的交点个数为（　　）

A.

3

B.

4

C.

6

D.

8

8.

已知函数为f(x)的定义域为R, f(x)>f(x-1)+f(x-2), 且当x<3时f(x)=x, 则下列结论中一定正确的是（　　）

A.

f(10)>100

B.

f(20)>1000

C.

f(10)<1000

D.

f(20)<10000

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分.

9.

为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\overline{x}=2.1$ ，样本方差 $s^{2}=0.01$ ，已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N(1.8,0.1^{2})$ ，假设推动出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N(\overline{x},s^{2})$ ，则（）（若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N(u,\sigma^{2})$ ，$P(Z

A.

P(X>2)>0.2

B.

P(X>2)<0.5

C.

P(Y>2)>0.5

D.

P(Y>2)<0.8

10.

设函数

f(x)=(x-1)^{2}(x-4)

，则（）

A.

x=3

是

f(x)

的极小值点

B.

当

0<x<1

时，

f(x)<f(x^{2})

C.

当

1<x<2

时，

-4<f(2x-1)<0

D.

当

-1<x<0

时，

f(2-x)>f(x)

11.

造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 $C$ 的一部分.已知 $C$ 过坐标原点 $O$ ，且 $C$ 上的点满足横坐标大于 $-2$ ，到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a(a\lt0)$ 的距离之积为4，则（）

A.

a=-2

B.

点

(2\sqrt{2},0)

在

C

上

C.

C

在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.

当点

(x_{0},y_{0})

在

C

上时，

y_{0}\leq\frac{4}{x_{0}+2}

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.

设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt 0, b \gt 0)$ 的左右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，过 $F_2$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $|F_1A| = 13$ ， $|AB| = 10$ ，则 $C$ 的离心率为______.

13.

若曲线 $y = e^x + x$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线也是曲线 $y = \ln(x + 1) + a$ 的切线，则 $a =$ ______.

14.

甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 $1, 3, 5, 7$ ，乙的卡片上分别标有数字 $2, 4, 6, 8$ ，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 $1$ 分，数字小的人得 $0$ 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于 $2$ 的概率为______.

四、解答题: 本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.

记△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 $\sin C=\sqrt{2}\cos B$ ， $a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$

(1).

求B;

(2).

若△ABC的面积为 $3+\sqrt{3}$ ，求c.

16.

已知A(0,3)和P(3, $\frac{3}{2}$ )为椭圆C: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b \gt0)$ 上两点.

(1).

求C的离心率;

(2).

若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.

17.

$\text{如图,四棱锥 }P-ABCD\text{ 中,}PA\perp\text{底面 }ABCD,\quad PA=AC=2,\quad BC=1,AB=\sqrt{3}.$

(1).

若 $AD \perp PB$ ，证明： $AD \parallel$ 平面 $PBC$ ；

(2).

若 $AD \perp DC$ ，且二面角 $A-CP-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求 $AD$ ．

18.

已知函数 $f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3$

(1).

若 $b=0$ ，且 $f'(x)\geq0$ ，求 $a$ 的最小值；

(2).

证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；

(3).

若 $f(x) \gt-2$ 当且仅当 $1 \lt x \lt 2$ ，求 $b$ 的取值范围.

19.

设 $m$ 为正整数，数列 $a_1,a_2,...,a_{4m+2}$ 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j(i \lt j)$ 后剩余的 $4m$ 项可被平均分为 $m$ 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 $a_1,a_2,...,a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$ -可分数列.

(1).

写出所有的 $(i,j)$ ， $1\leq i \lt j\leq6$ ，使数列 $a_1,a_2,...,a_6$ 是 $(i,j)$ -可分数列；

(2).

当 $m\geq3$ 时，证明：数列 $a_1,a_2,...,a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$ -可分数列；

(3).

从 $1,2,...,4m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j(i\lt j)$ ，记数列 $a_1,a_2,...,a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$ -可分数列的概率为 $P_m$ ，证明： $P_m \gt \frac{1}{8}$ .

2024 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标I 卷) 数学

考试时间 180 分钟