2025年高考全国一卷数学

考试时间 120 分钟

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的洗项填涂在答顾卡相应的位置上。

$(1+5i)i$ 的虚部为

-1

$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ，集合 $A=\{1,3,5\}$ ，则 $\complement_UA$ 中元素个数为$

若双曲线

C

的虚轴长为实轴长的7倍,则

C

的离心率为

\sqrt{2}

2

\sqrt{7}

2\sqrt{2}

若点

(a,0) (a>0)

是函数

y=2\tan(x-\frac{\pi}{3})

的图象的一个对称中心，则

a

的最小值为

30^\circ

60^\circ

90^\circ

135^\circ

设

f(x)

是定义在 R 上且周期为 2 的偶函数，当 2

\leqslant x\leqslant3

时，

f(x)=5-2x

,则

f(-\frac{3}{4})=

-\frac12

-\frac14

\frac14

\frac12

航船比赛中,运动员可借助风力计测定的风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和.其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反如图1给出了部分风速等级,名称与风速大小的对应关系,已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的单位m/s).

轻风

微风

和风

劲风

若圆

x^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}(r>0)

上到直线

y=\sqrt3x+2

的距离为 1 的点有且仅有 2 哥，则

r

的取值范围是

(0,1)

(1,3)

(3,+\infty)

( 0, + \infty )

若实数

x,y,z

满足

2+\log_2x=3+\log_3y=5+\log_5z

,则

x,y,z

的大小关系不可能是

x> y> z

x> z> y

y> x> z

y> z>x

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。

在正三棱柱

ABC-A_1B_1C_1

中，

D

为

BC

中点，则

AD \perp A_1C

B_1C \perp

平面

AA_1D

CC_1 \parallel

平面

AA_1D

AD \parallel A_1B_1

10.

设抛物线

C:y^{2}=6x

的焦点为

F

，过

F

的直线交

C

于

A

、

B

，过

F

且垂直于

AB

的直线

l:y=-\frac{3}{2}x

于

E

，则

|AD|=|AF|

|AE|=|AB|

|AB|\geqslant 6

|AE|\cdot|BE|\geqslant 18

11.

已知△ABC的面积为

\frac{1}{4}

，若

\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=2

，

\cos A\cos B\sin C=\frac{1}{4}

，则

\sin C=\sin^2 A+\sin^2 B

AB=\sqrt{2}

\sin A+\sin B=\frac{\sqrt{6}}{2}

AC^2+BC^2=3

三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分。

12.

若直线 $y=2x+5$ 是曲线 $y={e}^x+x+a$ 的切线,则 $a=$ ______.

13.

若一个等比数列的前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为______.

14.

一个箱子里有 5 个球，分别以 1~5 标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数 X，则 E(X)=______.

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.

为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过的超声波检查的人群中随机调查了1000人,得到如下列联表:

检查结果是否患病	正常	不正常	合计
患该疾病	20	180	200
未患该疾病	780	20	800
合计	800	200	1000

(1).

记超声波检查结果不正常者患病的概率为p,求p的估计值.

(2).

根据小概率值 $\alpha$ = 0.001的独立性检验, 分析样本数据中超声波检查结果与是否患该疾病有关.
附: $x^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(x^2\geqslant k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

16.

$\text{设数列}\left\{a_n\right\}\text{满足}\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_n}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}.$

(1).

$\text{证明:}\quad\{na_n\}\text{ 为等差数列;}$

(2).

$\text{设}f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{m}x^{m},\text{求}f^{\prime}(2).$

17.

如图所示的四棱锥 $P-ABCD$ 中, $PA\perp$ 平面 $ABCD$ , $BC//AD$ , $AB\perp AD$ .

(1).

$\text{证明:平面 }PAB\perp\text{平面 }PAD;$

(2).

若 $PA=AB=\sqrt{2},AD=\sqrt{3}+1,BC=2,P,B,C,D$ 在同一个球面上，设该球面的球心为 $o.$

(i).

证明:O在平面ABCD上;

(ii).

$\text{求直线 }AC\text{ 与直线 }PO\text{ 所成角的余弦值}.$

18.

设椭圆 $C{: }\frac {x^{2}}{a^{2}}+ \frac {y^{2}}{b^{2}}= 1$ $(a\gt b\gt 0)$ ,记 $A$ 为椭圆下端点， $B$ 为右端点， $|AB|=\sqrt10$ ,且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}3.$

(1).

求椭圆的标准方程

(2).

$\text{设点 }P(m,n).$

(i).

若 $P$ 不在 $y$ 轴上，设 $R$ 是射线 $AP$ 上一点， $|AR|\cdot|AP|=3$ ,用 $m,n$ 表示点 $R$ 的坐标，

(ii).

设直线 $OQ$ 的斜率为 $k_1$ ,直线 $OP$ 的斜率为 $k_2$ ,若 $k_1=3k_2$ , $M$ 为椭圆上一点，求 $\mid PM\mid$ 的最大值.

(19).

设函数 $f(x)=5\cos x-\cos5x.$

(1).

$\text{求}f(x)\text{在}[0,\frac{\pi}{4}]\text{的最大值};$

(2).

给定 $\theta\in(0,\pi)$ ,a为给定实数,证明:存在 $y\in[a-\theta,a+\theta]$ ,使得 $\cos y\leqslant\cos\theta$

(3).

若存在 $\varphi$ ,使得对任意 $x$ ,都有 $5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leqslant b$ ,求 $b$ 的最小值.