2025年全国普通招生考试二卷数学

考试时间 120 分钟

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的洗项填涂在答顾卡相应的位置上。

1.

样本数据22，88，1414，1616，2020的平均数为（ ）

A.
 

8

B.
 

9

C.
 

12

D.
 

18


2.
已知z=1+iz=1+i，则1z−1=\frac{1}{z-1}=（）
A.
 
−i-i
B.
 
ii
C.
 
−1-1
D.
 
11

3.
已知集合 A={−4,0,1,2,8},B={x∣x3=x}A=\left\{-4,0,1,2,8\right\},B=\left\{x\mid x^{3}=x\right\},则 A∩B=(A\cap B= ( )
A.
 
{0,1,2}\{ 0, 1, 2\}
B.
 
{1,2,8}\{ 1, 2, 8\}
C.
 
{2,8}\{ 2, 8\}
D.
 
{0,1}\{0,1\}

4.
不等式x−4x−1\frac{x-4}{x-1} 2的解集是()
A.
 
{x∣−2≤x≤1}\{ x| - 2\leq x\leq 1\}
B.
 
{x∣\{ x| xx −2}- 2\}
C.
 
{x∣−2≤x<1}\{ x| - 2\leq x< 1\}
D.
 
{x∣\{ x| x>1}x> 1\}

5.
在ΔABC\Delta ABC 中，BC=2,AC=1+3,AB=6BC=2,AC=1+\sqrt{3},AB=\sqrt{6},则A=A=( )
A.
 
45∘45^{\circ}
B.
 
60∘60^{\circ}
C.
 
120∘120^{\circ}
D.
 
135∘135^{\circ}

6.

设抛物线 C:y2=2px(pC:y^2=2px(p > 0)0) 的焦点为 FF，点 AA 在 CC 上，过 AA 作 CC 的准线的垂线，垂足为 BB，若直线 BFBF 的方程为 y=−2x+2y=-2x+2，则 ∣AF∣=|AF|=（ ）

A.
 
3
B.
 
4
C.
 
5
D.
 
6

7.
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和, 若 S3=6,S5=−5S_3 = 6, S_5 = -5, 则 S6=S_6 =（ ）
A.
 
-20
B.
 
-15
C.
 
-10
D.
 
-5

8.
已知 0<a<π0 < a < \pi , cos⁡a2=55\cos \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5} , 则 sin⁡(a−π4)=\sin \left( a - \frac{\pi}{4} \right) =
A.
 
210\frac{\sqrt{2}}{10}
B.
 
25\frac {\sqrt {2}}5
C.
 
3210\frac {3\sqrt {2}}{10}
D.
 
7210\frac {7\sqrt {2}}{10}

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。

9.
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，qq 为 {an}\{a_n\} 的公比，q>0q > 0，若 S3=7S_3 = 7，a3=1a_3 = 1，则 ( )
A.  
q=12q = \frac{1}{2}
B.  
a5=19a_5 = \frac{1}{9}
C.  
S5=8S_5 = 8
D.  
an+Sn=8a_n + S_n = 8

10.
已知f(x)f(x)是定义在R\mathbb{R}上的奇函数，且当x>0x>0时，f(x)=(x2−3)ex+2f(x)=(x^{2}-3)e^{x}+2，则（ ）
A.  
f(0)=0f(0)=0
B.  
当x<0x<0时，f(x)=−(x2−3)e−x−2f(x)=-(x^{2}-3)e^{-x}-2
C.  
f(x)=2f(x)=2当且仅当x=3x=\sqrt{3}
D.  
x=−1x=-1是f(x)f(x)的极大值点

11.
双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1F_{1}、F2F_{2}，左、右顶点分别为A1A_{1}、A2A_{2}，以F1F2F_{1}F_{2}为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且∠NA1M=5π6\angle N A_{1} M=\frac{5\pi}{6}，则（ ）
A.  
∠A1MA2=π6\angle A_{1} M A_{2}=\frac{\pi}{6}
B.  
∣MA1∣=2∣MA2∣|M A_{1}|=2|M A_{2}|
C.  
C的离心率为13\sqrt{13}
D.  
当a=2a=\sqrt{2}时，四边形NA1MA2N A_{1} M A_{2}的面积为838\sqrt{3}

三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分。

12.

已知平面向量a⃗=(x,1)\vec{a}=(x,1)，b⃗=(x−1,2x)\vec{b}=(x-1,2x)，若a⃗⊥(a⃗−b⃗)\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b})，则∣a⃗∣=|\vec{a}|=_________


13.

 若x=2x=2是函数f(x)=(x−1)(x−2)(x−a)f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)=f(0)=_________


14.

 一个底面半径为4cm4cm，高为9cm9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为_________cm.


四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.

已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)(0<φ<π)f(x)=\cos(2x+\varphi)(0 \lt \varphi \lt \pi), f(0)=12f(0)=\frac{1}{2}.

(1).

求 φ\varphi;

(2).

设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x)=f(x)+f(x-\frac{\pi}{6}), 求 g(x)g(x) 的值域和单调区间.


16.

已知椭圆 CC:x2a2\frac{x^{2}}{a^{2}}+y2b2\frac{y^{2}}{b^{2}}=11(a>b>a \gt b\gt00) 的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}, 长轴长为 44.

(1).

求 C 的方程，

(2).

过点(0,-2)的直线ι\iota与 C 交于A,BA,B两点，OO为坐标原点，若△OAB\triangle OAB的面积为2\sqrt{2} ,求∣AB∣|AB| .


17.

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°。

(1).

 证明:A'B∥平面CD'F；

(2).

求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值


18.

已知函数f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x)=\ln(1+x)-x+\frac{1}{2}x^{2}-kx^{3}，其中0<k<130\lt k\lt\frac{1}{3}。

(1).

 证明：f(x)f(x)在区间(0,+∞)(0,+\infty)存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2).

设x1x_{1}，x2x_{2}分别为f(x)f(x)在区间(0,+∞)(0,+\infty)的极值点和零点。

(i).

设函数g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t)=f(x_{1}+t)-f(x_{1}-t)。证明：g(t)g(t)在区间(0,x1)(0,x_{1})单调递减；

(ii).

比较2x12x_{1}与x2x_{2}的大小，并证明你的结论。


19.

甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为P(12<p<1)P\left(\frac{1}{2}\lt p \lt 1\right)，乙胜的概率为qq，p+q=1p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数kk 2，记pkp_{k}为打完kk个球后甲比乙至少多得2分的概率，qkq_{k}为打完kk个球后乙比甲至少多得2分的概率。

(1).

求p3p_{3}，p4p_{4}（用pp表示）。

(2).

若p4−p3q4−q3=4\frac{p_{4}-p_{3}}{q_{4}-q_{3}}=4，求pp。

(3).

证明：对任意正整数mm，p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1}-q_{2m+1} \lt p_{2m}-q_{2m} \lt p_{2m+2}-q_{2m+2}。