2023年全国硕士研究生招生考试数学二

考试时间 180 分钟

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一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

$y=x\ln\left(e+\frac{1}{x-1}\right)\quad\text{的斜渐近线方程是}$ （）

$y=x+e$

$y=x+\frac{1}{e}$

$y=x$

$y=x-\frac{1}{e}$

函数

f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, x \leq 0 \\(x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.

的原函数为()

F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\(x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.

F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)+1, x \leq 0 \\(x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.

F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\(x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.

F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)+1, x \leq 0 \\(x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.

设数列

\{x_n\},\{y_n\}

满足

x_1= y_1= \frac 12, x_{n+ 1}= \sin x_n, y_{n+ 1}= y_n^2

\overset {\text{当 }}{\operatorname* { \operatorname* { = } } }n\to \infty

时( )

x_{n}

是

y_n

的高阶无穷小

$y_{n}$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小

x_{n}

是

y_{n}

的等价无穷小

x_n

是

y_n

的同阶但非等价无

已知微分方程

y''+ay'+by=0

的解在

(-\infty,+\infty)

上有界，则

a,b

的取值范围为 ( )

a<0,b>0

a>0,b>0

a=0,b>0

a=0,b<0

设函数

y=f(x)

由

\left\{\begin{array}{l}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{array}\right.

确定,则()

f(x)

连续,

f'(0)

不存在

f'(0)

不存在,

f(x)

在

x=0

处不连续

f(x)

连续,

f'(0)

不存在

f''(0)

存在,

f''(x)

在

x=0

处不连续

若函数

f(\alpha)=\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}}dx

在

\alpha=\alpha_{0}

处取得最小值，则

\alpha_{0}=

（　　）

-\frac{1}{\ln(\ln 2)}

-\ln(\ln 2)

-\frac{1}{\ln 2}

\ln 2

设函数 $f(x)=(x^{2}+a)e^{x}$ ，若 $f(x)$ 没有极值点，但曲线 $y=f(x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是()

[0,1)

[1,+∞)

[1,2)

[2,+∞)

设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵， $M^{*}$ 为矩阵M的伴随矩阵，则 $\left(\begin{array}{cc}A&E\\O&B\end{array}\right)^{*}=$ ( )

\left(\begin{array}{cc}|A|B^{*}&-B^{*}A^{*}\\0&A^{*}B^{*}\end{array}\right)

\left(\begin{array}{cc}|A|B^{*}&-A^{*}B^{*}\\0&|B|A^{*}\end{array}\right)

\left(\begin{array}{cc}|B|A^{*}&-B^{*}A^{*}\\0&|A|B^{*}\end{array}\right)

\left(\begin{array}{cc}|B|A^{*}&-A^{*}B^{*}\\0&|A|B^{*}\end{array}\right)

二次型

f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_1+x_3)^2-4(x_2-x_3)^2

的规范形为()

y_1^2+ y_2^2

y_1^2- y_2^2

y_{1}^{2}+ y_{2}^{2}- y_{3}^{2}

y_{1}^{2}+ y_{2}^{2}- 4y_{3}^{2}

10.

已知向量

\alpha_1=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}

，

\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

，

\beta_1=\begin{pmatrix}2\\5\\9\end{pmatrix}

，

\beta_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

，若

\gamma

既可由

\alpha_1

，

\alpha_2

线性表示，也可由

\beta_1

，

\beta_2

线性表示，则

\gamma=

（　　）

k\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}

，

k\in\mathbb{R}

k\begin{pmatrix}3\\5\\10\end{pmatrix}

，

k\in\mathbb{R}

k\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}

，

k\in\mathbb{R}

k\begin{pmatrix}1\\5\\8\end{pmatrix}

，

k\in\mathbb{R}

二、填空题（本题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上）

11.

当x→0时，函数f(x)=ax+bx^{2}+ln(1+x)与g(x)=e^{x^{2}}-cosx是等价无穷小，则ab=_______.

12.

曲线 $\begin{aligned}y=\int_{-\sqrt{3}}^x\sqrt{3-t^2}dt\end{aligned}$ 的弧长为______.

13.

$\text{设函数 }z=z(x,y)\text{ 由 }e^z+xz=2x-y\text{确定,则}\frac{\partial^2z}{\partial^2x}|_{(1,1)}=$ ______.

14.

曲线 $3x^{3}=y^{5}+2y^{3}$ 在 $x=1$ 对应点处的法线斜率为_______.

15.

$\text{设连续函数 }f(x)\text{ 满足:}\quad f(x+2)-f(x)-x,\quad\int_0^1f(x)dx=0,\quad\text{则}\int_1^1f(x)dx=$ ______.

16.

已知线性方程组 $\begin{cases}ax_{1}+x_{3}=1\\x_{1}+ax_{2}+x_{3}=0\\x_{1}+2x_{2}+ax_{3}=0\end{cases}$ 有解，其中 a,b 为常数，若 $\begin{vmatrix}a&0&1\\1&a&1\\1&2&a\end{vmatrix}=4$ 则 $\begin{vmatrix}1&a&1\\1&2&a\\a&b&0\end{vmatrix}$ =______.

三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

设曲线L： $y=y(x)(x$ > $e)$ 经过点 $(e^2,0)$ , L上任一点 $P(x,y)$ 到 y轴的距
离等于该点处的切线在 y 轴上的截距，

(1).

$求y(x).$

(2).

$在L上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小$

18.

$\text{求函数}f(x,y)=xe^{\cos y}+\frac{x^2}{2}\text{的极值}.$

$\text{已知平面区域}D=\left\{(x,y)|0\leq y\leq\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}},x\geq1\right\},$

(1).

$\text{求D的面积}.$

(2).

$求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.$

20.

$设平面有界区域D位于第一象限,由曲线x^{2}+y^{2}-xy=1,x^{2}+y^{2}-xy=2与直线y=\sqrt{3}x,y=0围成,计算\iint_{D}\frac{1}{3x^{2}+y^{2}}dxdy.$

$\text{设函数 }f(x)\text{在}[-a,a]\text{上具有2阶连续导数,证明:}$

(1).

$\text{若 }f(0)=0,\text{则存在 }\xi\in(-a,a),\text{使得 }f^{\prime\prime}(\xi)=\frac{1}{a^{2}}\left[f(a)+f(-a)\right].$

(2).

若 $f(x)$ 在 $(-a,a)$ 内取得极值，则存在 $\eta\in(-a,a)$ ,使得
$\left|f''(\eta)\right|\geq\frac{1}{2a^2}\left|f(a)-f(-a)\right|.$

$设矩阵 A 满足：对任意 x_{1}, x_{2}, x_{3} 均有$
$A\begin{pmatrix}x_{1} \\x_{2} \\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} \\2x_{1} - x_{2} + x_{3} \\x_{2} - x_{3}\end{pmatrix}$

(1).

$\text{求A;}$

(2).

$\text{求可逆矩阵 }P\text{ 与对角矩阵 }\Lambda\text{,使得 }P^{-1}AP=\Lambda.$