2021年全国硕士研究生招生考试数学二

考试时间 180 分钟

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一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

当

x \rightarrow 0

时，

\int_{0}^{x^{2}}(e^{t^{2}}-1)dt

时

x^{2}

的

低阶无穷小.

等价无穷小.

高阶无穷小.

同阶但非等价无穷小.

函数

f(x)=\begin{cases}\frac{e^{x}-1}{x},x\neq0\\1,x=0\end{cases}

,在

x=0

处

连续且取极大值.

连续且取极小值.

可导且导数为0.

可导且导数不为 0.

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为

2 \text{ cm/s}

-3 \text{ cm/s}

, 当底面半径为

10 \text{ cm,}

高为

5 \text{ cm}

时, 圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为

125 \pi \text{ cm}^3 / \text{s}

40 \pi \text{ cm}^2 / \text{s}

125 \pi \text{ cm}^3 / \text{s}

-40 \pi \text{ cm}^2 / \text{s}

-100 \pi \text{ cm}^3 / \text{s}

40 \pi \text{ cm}^2 / \text{s}

-100 \pi \text{ cm}^3 / \text{s}

-40 \pi \text{ cm}^2 / \text{s}

设函数

f(x)=ax-b\ln x(a>0)

有两个零点, 则

\frac{b}{a}

的取值范围是

(e,+\infty)

(0,e)

(0,\frac{1}{e})

(\frac{1}{e},+\infty)

设函数

f(x)=\sec x

在

x=0

处的 2 次泰勒多项式为1

+ax+bx^2

,则

a=1,b=-\frac12.

a=1,b=\frac12.

a=0,b=-\frac12.

a=0,b=\frac12.

设函数

f(x,y)

可微，且

f(x+1,e^{x})=x(x+1)^{2}

，

f(x,x^{2})=2x^{2}\ln x

，则

df(1,1)=

dx+dy

．

dx-dy

．

dy

．

-dy

．

设函数

f\left(x\right)

在区间[0,1]上连续，则

\int_0^1f\left(x\right)dx=

$\lim_{n\to\infty}\sum _{k=1}^{n}f\left ( \frac {2k- 1}{2n}\right ) \frac 1{2n}$ .

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{2k-1}{2n}\right)\frac1n.$

\operatorname*{lim}_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n=1}f\left(\frac{k-1}{2n}\right)\frac{1}{n}.

$\lim_{x\to_0}\sum_{k=1}^{2n}f\left(\frac{k}{2n}\right)\cdot\frac{2}{n}.$

二次型

f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2

的正惯性指数与负惯性指数依次为

2,0 .

1,1.

2,1.

1,2.

设3阶矩阵

A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)

，

B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)

，若向量组

\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3

可以由向量组

\beta_1,\beta_2,\beta_3

线性表出，则

Ax=0

的解均为

Bx=0

的解.

A^Tx=0

的解均为

B^Tx=0

的解.

Bx=0

的解均为

Ax=0

的解.

B^Tx=0

的解均为

A^Tx=0

的解.

10.

已知矩阵

A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&-1&1\\-1&2&-5\end{pmatrix}

若下三角可逆矩阵

P

和上三角可逆矩阵

Q

,使

PAQ

为对角矩阵，则

P

\varrho

可以分别取

\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\:\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}.

\begin{pmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\-3&2&1\end{pmatrix},\:\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

\begin{pmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\-3&2&1\end{pmatrix},\:\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}.

\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&3&1\end{pmatrix},\:\begin{pmatrix}1&2&-3\\0&-1&2\\0&0&1\end{pmatrix}.

二、填空题（本题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上）

11.

$\int_{-\infty}^{+\infty}|x|3^{-x^{2}}dx=$ ______.

12.

$设函数y=y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=2e^t+t+1\\y=4(t-1)e^t+t^2\end{cases}$ 确定，则 $\frac d2y{dx^2}|_{t=0}=$ ______.

13.

$\text{设函数 }z=z(x,y)\text{ 由方程 }(x+1)z+y\ln z-\arctan(2xy)=1\text{ 确定,则}\frac{\partial z}{\partial x}|_{(0,2)}=$ ______.

14.

$\text{已知函数 }f(t)=\int_{1}^{t}dx\int_{\sqrt{x}}^{1}\sin\frac{x}{y}dy,\text{则 }f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ______.

15.

$\text{微分方程 }y^{\prime\prime\prime}-y=0\text{ 的通解 }y=$ ______.

16.

$\text{多项式 }f(x)=\begin{vmatrix}x&x&1&2x\\1&x&2&-1\\2&1&x&1\\2&-1&1&x\end{vmatrix}\text{中 }x^3\text{项的系数为}$ ______.

三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

$\text{求极限}\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\int_0^xe^{t^2}dt}{e^x-1}-\frac{1}{\sin x}\right).$

18.

$\text{已知}f(x)=\frac{x\left|x\right|}{1+x}\text{,求}f(x)\text{的凹凸性及渐近线}.$

19.

$f(x)$ 满足 $\int\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx=\frac16x^{2}-x+C,L$ 为曲线 $y=f(x)(4\leq x\leq9),L$ 的弧长为 $s$ , $L$ 绕 $x$ 轴旋转一周所形成的曲面的面积为 $A$ ,求 $s$ 和 $A$

$\text{函数 }y=y(x)\text{ 的微分方程 }xy^{\prime}-6y=-6\text{,满足 }y(\sqrt{3})=10,$

(1).

$\text{求 }y(x);$

(2).

$P$ 为曲线 $y=y(x)$ 上的一点, 曲线 $y=y(x)$ 在点 $P$ 的法线在 $y$ 轴上的截距为 $I_{y}$ , 为使 $I_{y}$ 最小, 求 $P$ 的坐标.

21.

$\text{曲线}(x^2+y^2)^2=x^2-y^2(x\geq0,y\geq0)\text{与}x\text{轴围成的区域为}D\text{,求}\iint_Dxydxdy.$

22.

设矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\1&a&b\end{pmatrix}$ 仅有两个不同的特征值。若 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a,b$ 的值，并求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。