已知函数$f(u)$ 在区间$\begin{pmatrix}0,+\infty\end{pmatrix}$ 内具有二阶导...

已知函数$f(u)$ 在区间$\begin{pmatrix}0,+\infty\end{pmatrix}$ 内具有二阶导数，记g(x,y)=f=)，若$g(x,y)$ 满足$x^{2}$ $\frac {\partial ^{2}g}{\partial x^{2}}+ xy$ $\frac {\partial ^{2}g}{\partial x\partial y}+ y^{2}$ $\frac {\partial ^{2}g}{\partial y^{2}}= 1$ ，且$g(x,x)=1$ · $\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x,x)}=\frac2x$ ，求$f(u)$

$f(u)=\frac{1}{2}\left(\ln u\right)^2+2\ln u+1$