设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt 0, b \...

 设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt 0, b \gt 0)$ 的左右焦点分别为 $F_1, F_2$，过 $F_2$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $|F_1A| = 13$，$|AB| = 10$，则 $C$ 的离心率为______.