设函数 $f(x)=5\cos x-\cos5x.$

$\text{求}f(x)\text{在}[0,\frac{\pi}{4}]\text{的最大值};$

给定$\theta\in(0,\pi)$,a为给定实数,证明:存在$y\in[a-\theta,a+\theta]$,使得$\cos y\leqslant\cos\theta$

若存在$\varphi$,使得对任意 $x$,都有 $5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leqslant b$,求 $b$的最小值.