$\frac{3}{10}\ln2+\frac{\pi}{10}$

$f^{\prime}(0)=5$

$f(x,y)=-x^2e^{-y}+(y+2)e^{-y};\quad f(0,-1)\text{为极大值}$

$12\pi-\frac{112}{3}$

证明：（1）必要性
$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi_1)(x_1$<$\xi_1$<$x_2)$

$\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=f'(\xi_2)(x_2$<$\xi_2$<$x_3)$

由于 $f'(x)$ 在 $(a, b)$ 上单增，且 $\xi_1$ < $\xi_2$，则 $f'(\xi_1)$ < $f'(\xi_2)$，进而
$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ < $\frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}$
(2) 充分性
对于任意 $c_1$ < $c_2 \in (a, b)$ 有：
$f'(c_1) = \lim_{x \to c_1} \frac{f(x) - f(c_1)}{x - c_1}$
$f'(c_2) = \lim_{x \to c_2} \frac{f(x) - f(c_2)}{x - c_2}$
当 $a$ < $c_1$ < $x$ < $c_2$ < $b$ 时，由 $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ < $\frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}$ 知，
$\frac{f(c_1) - f(a)}{c_1 - a}$ < $\frac{f(x) - f(c_1)}{x - c_1}$ < $\frac{f(c_2) - f(x)}{c_2 - x}$
两边同时取极限及极限的保号性可知：
$$\lim_{x \to c_1^+} \frac{f(x) - f(c_1)}{x - c_1} \leq \lim_{x \to c_1^+} \frac{f(c_2) - f(x)}{c_2 - x} = \frac{f(c_2) - f(c_1)}{c_2 - c_1}$$

$$\lim_{x \to c_1^+} \frac{f(c_2) - f(x)}{c_2 - x} \geq \lim_{x \to c_1^-} \frac{f(x) - f(c_1)}{x - c_1} = \frac{f(c_2) - f(c_1)}{c_2 - c_1}$$
$\text{进而 }$$f'(c_1) =$ $\lim_{x \to c_1^+} \frac{f(x) - f(c_1)}{x - c_1}$ $\leq$ $\lim_{x \to c_1^-} \frac{f(x) - f(c_2)}{x - c_2} = f'(c_2)$ $\text{, 即 } f'(x) \text{ 在 } (a, b) \text{ 上单增.}$